Aria discului

Cum se demonstreaza ca aria discului este πr² ?

Putina lume isi pune aceasta problema… Poate pentru ca formula ariei discului este invatata de foarte devreme, cand nici macar ideea de demonstratie nu este conturata in mintea unui elev, cand semnificatia numarului π nu poate fi inteleasa altfel decat… 3,14. Cred ca toata lumea o stie si cei mai multi o iau ca atare, ca si cand aceasta formula s-ar fi nascut odata cu insasi matematica, ca si cand ar fi un adevar primordial. Lucrurile nu stau chiar asa… Cu siguranta a fost mai intai formula lungimii cercului: 2πr. Altfel nu s-ar fi stiut nici macar de  π.

Dar nu imi propun sa spun povesti adevarate, ci doar sa arat cateva din cele mai rapide si interesante metode de rezolvare ale problemei. Asadar, sa o tratam ca pe o problema.

Ipoteza: Lungimea unui cerc de raza r este 2πr.

Concluzie: Aria discului de raza r este  este  πr².

  • Rezolvarea 1 (Solutia lui Ahimede): Arhimede demonstreaza (nu vom reda complicatul rationament) ca  aria discului este egala cu aria unui triunghi dreptunghic avand o cateta egala ca r si celalta cateta egala cu 2πr. Iata demonstratia fara cuvinte:

687474703a2f2f33382e6d656469612e74756d626c722e636f6d2f38626332333965623965323638376263386138653264653036623131663733622f74756d626c725f6e63693863786e72464f31716667376f336f315f3530302e676966

Se observa cum, prin „desfasurarea” discului se obtine un triunghi dreptunghi avand catetele de lungimi: r si 2πr.

codecogseqn-22

  • Rezolvarea 2

Vom nota ca l(r) circumferinta discului de raza r, l(r)=2πr,  conform ipotezei si cu A(r) aria discului de raza r.

disc

Au loc urmatoarele:

codecogseqn-24

Folosind si faptul ca A(0)=0 rezulta concluzia, adica A(r)=πr².

Observatie: (πr²)’=2πr.

 

 

Acest articol a fost publicat în Cum se demonstreaza și etichetat , , . Pune un semn de carte cu legătura permanentă.

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s