Category Archives: Referate

Sectiune in care sunt publicate articole de matematica. Referate

Despre infinitul numarabil

 Problema lui Hilbert

Urmatoare problema a fost propusa de David Hilbert (1862-1943): Sa consideram posibila existenta unui hotel cu un numar infinit de camere, toate numerotate cu numere naturale incepand de la 1, toate fiind ocupate cu cate un oaspete. S-ar zice ca  e imposibil de a mai primi o noua persoana in acel hotel asa cum evident s-ar intampla in cazul unui hotel cu un numar finit de camere. Intrebarea este daca se poate sau nu caza o noua persoana?

 

Principiul lui Dirichlet

Matematicianul german Peter Gustav Dirichlet (1805-1859) a elaborat un principiu extrem de simplu cu aplicaţii neaşteptate în variate domenii, principiu care-i poartă numele şi pe care-l enunţăm mai jos, fiind o demonstraţie de tipul următor: ,,dacă repartizăm n+1 obiecte în n cutii atunci cel puţin doua obiecte vor fi în aceeaşi cutie”.Justificare :considerăm cazul cel mai nefavorabil aşezând în fiecare cutie căte un obiect. Deci am folosit ,, n “cutii şi ,, n” obiecte. Obiectul cu numărul n+1 trebuie pus şi el într-o cutie oarecare dar în acea cutie există deja un obiect. Aşadar avem o cutie cu două obiecte. Nu este important care cutie conţine cel puţin două obiecte, nici câte obiecte sunt în acea cutie şi nici câte astfel de cutii există. Important este că există cel puţin o cutie cu cel puţin două obiecte.

Principiul lui Dirichlet pare sa infirme posibilitatea solutionarii problemei lui Hilbert. Insa acest principiu nu este aplicabil in problema enuntata deoarece n trebuie sa fie un numar natural. Ipoteza ca hotelul are un numar infant de camere face ca aceasta problema sa nu se supuna aritmeticii numerelor finite. In matematica infinitului, lucrurile stau cu totul altfel decât în aritmetica numerelor finite, şi tot-i numai uimire şi paradox: partea este egală cu întregul, iar adăugirile ori substracţiile nu modifica totalul. În hotelul cu infinit de multe camere – zis hotel al lui Hilbert – problema găzduirii unor noi călători nu se pune chiar când toate camerele sunt ocupate. Recepţia nu are decât să mute – ori de câte ori va fi necesar – pasagerul din camera 1 în camera 2, pe cel din camera 2 in camera 3 s.a.m.d., creându-se astfel un număr nelimitat de proaspete posibilităţi locative.

Asadar, daca judecam problema nu prin prisma aritmeticii elementare, a numerelor finite, situatia data nu e chiar un paradox. Ea releva o proprietate a multimilor infinite, numarabile (o multime numarabila este intr-un limbaj mai accesibil o multime pentru care putem gasi o regula prin care sa precizam cine este primul element, al doilea, al treilea si asa mai departe…) Atentie! infinitul nu este un numar!! Acceptarea lui ca numar ar conduce ea insasi la paradoxuri; ar contrazice insusi principiul lui Dirichlet. Prioprietatea pe care exemplul de mai sus o releva este aceea ca daca avem doua multimi una mai mica decat cealalta (in sensul incluziunii) e posibil ca cele doua multimui sa aiba la fel de multe elemente. Adica sa fie echivalente. Reamintim ca doua mulrimi A si B se numesc echivalente daca exista o functie bijectiva de la A la B.

Pe aceeasi proprietate a infinitului se bazeaza o alta “ciudatenie matematica”. Este cunoscut ca multimea numerelor naturale este inclusa in multimea numerelor  intregi (N este mai mica decat Z in sensul incluziunii), insa cele doua multimi au acelasi cardinal; sunt echivalente, cardinalul lor se numeste (alef 0); am putea zice ca sunt dintr-un anumit punct de vedere la fel de mari. Pentru a demonstra aceasta trebuie sa evidentiem o bijectie intre cele doua multimi. Aceasta este:

Imagine 

 Dar oare nu exista o asemnare intre aceasta problema si problema lui Hilbert? Ba da… in problema lui Hilbert nu se cera altceva decat gasirea unei bijectii f:N*->N, iar acesta bijectie este f(x)=x-1(daca pana sa vina o nuoa persoana camerei 1 ii corespundea persoana 1 camerei i ii corespundea persoana i, atunci cand vine persoana 0 aceasta va fi cazata in camera 1 iar persoana 1 va trece in camera 2; adica camera 2 va fi locuita de persoana 2-1; in general camera i va fi locuita d persoana i-1). Daca ar fi sa formulam problema de a arata ca N si Z au acelasi cardinal intr-un limbaj similar cu cel din problema lui Hilbert, aceasta  ar suna asa: Intr-un hotel cu numar infinit de camere; toate ocupate, se pune problema cazarii, a inca unei personae (sa zicem un prieten) pentru fiecare persoana cazata. Cum le cazezi?…  Raspuns: spui fiecarei persoane cazata sa se  cazeze in camera care reprezinta dublul camerei in care sta: in felul acesta camerele cu numar impar se vor elibera. Peroanele nou venite vor fi cazate in camerele cu numar impar. Practic ar fi cam greu sa te muti de la camera 1 milion la camera 2 milioane. De aceea poate ar fi bine sa  punem si ipoteza ca hotelul dispune de posibilitatea de face sa parcurgi distanta dintre oricare doua camere intr-un timp scurt.

 Ceea ce pare insa si mai ciudat este ca N nu este echivalenta doar cu Z ci si cu multimea Q: asta in conditiile in care cunastem ca intre doua numere naturale consecutive exista o infinitate de numere rationale. Demonstratia se poate realiza indicand urmatoarea schema de numarare a numerelor rationale

 Imagine

Linia albasrtra si coloana roz indica modul in care sunt formate fractiile. Algoritmul face ca fractiile echivalente sa dispara: sa nu apara 2 reprezentanti ai aceluiasi numar rational. Astfel, vor ramane doar acele fractii formate din numere naturale prime intre ele. Aceasta schema nu ne da explicit functia care asociaza un numar natural unui numar rational, insa arata cum pot fi numerate numerele rationale. Vreau sa spun ca daca luam  o fractie sa zicem 17/23 am putea preciza al catalea numar din cele unite prin sageti ar fi: pe coloana 23 si pe linia 17: ar fi al 1+2+3+…+22+17 –lea . Daca  nu se renunta la fractiile echivalente (si consideram doua fractii echivalente ca elemente distincte) multimea  obtinuta ramane in continuare numarabila. Deci cu atat mai  mult multimea Q.

Mai trebuie precizat ca exista si multimi infinite care nu sunt numarabile cum este R, sau multimea numerelor irationale, dar nu intram in detalii.

In concluzie afirmam ca notiunea de paradox si de infinit coabiteaza, si poate cea mai nimerita definitie pentru infinit e una care contine tot un paradox: infinitul nu este decat un loc in care se produce tot ceea ce nu se poate intampla.

Scrie un comentariu

Filed under Referate

Ucenicii lui Pitagora

Acest referat cuprinde o prezentare a celebrei Teoreme a lui Pitagora, dar mai ales cateva dintre cele mai imoprtante consecinte in matematica ale acestei teoreme.  Referatul prezinta cateva rezultate matematice destul de cunoscute care se datoreaza relatiei care exista intre ipotenuza si catetele unui triunghi dreptunghic, relatie cunoscuta sub numele de Teorema lui Pitagora.

Referatul contine:

1 .Pitagora: date biografice

2.Teorema lui Pitagora :prezentare si cateva demonstratii

3. Teorema lui Pitagora in matematica:

  • in geometria euclidiana
  • in trigonometrie
  • in probleme de metrica a triunghiului

4. Cateva exercitii.

Puteti vizualiza referatul dand CLICK AICI

Scrie un comentariu

Filed under Referate

Aplicatii ale analizei in geometrie. Despre masura cercului

In acest referat arat cateva demontratii, inedite si interesante pentru cunoscuta formul a ariei unui disc .

Dati click pentru vizualizare:

ARIA_DISCULUI

Scrie un comentariu

Filed under Referate